Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 78 УДК 57.95: Решение краевой задачи формирования траектории движения самолёта при выполнении пространственного маневра Танг Тхань Лам Московский физико-технический институт (государственный университет) МФТИ ул. Гагарина Жуковский Московская область 484 Россия e-mal: Аннотация Рассматривается задача планирования траектории движения самолёта при выполнении пространственного маневра. Для получения траектории с соблюдением заданных граничных условий используются два подхода основанных на концепциях обратной задачи динамики и представлении траектории в параметризованном виде. В первом случае рассматривается наиболее простая параметризация обеспечивающая только выполнение граничных условий. Во втором случае параметризация предусматривает дополнительную оптимизацию какого-либо критерия качества что соответствует некоторой реализации прямого вариационного метода. На конкретных примерах проводится сравнение этих двух подходов. Ключевые слова: пространственный маневр самолета планирование траектории краевая задача обратная динамика прямой вариационный метод. Введение Одной из основных задач динамики полёта является определение траектории и управлений обеспечивающих перевод самолёта из заданной начальной точки в

2 заданную конечную точку в пространстве. Если дополнительно задается критерий качества управления то задача может решаться методами теории оптимального управления. Но в любом случае формирование траектории полета это по сути краевая задача. К настоящему времени разработано много методов решения задач такого типа. Среди них хорошо известны методы пристрелки конечных разностей конечных элементов метод Галёркина-Ритца методы сведения к интегральным уравнениям Фредгольма и др. К числу перспективных направлений предложенных в последнее время следует отнести методы решения на основе параметризации траектории и применения концепции обратных задач динамики. Параметризация траектории позволяет свести задачу к поиску необходимых значений конечного числа параметров а концепция инверсной динамики позволяет легко определить управления необходимые для осуществления движения по требуемой траектории. Если дополнительно необходима оптимизация качества управления по какому-либо критерию то такой подход соответствует одной из возможных реализаций прямого вариационного метода. Основное достоинство данного направления сравнительная простота и экономичность расчетных алгоритмов. В перспективе это позволит генерировать траектории в темпе реального времени что привлекательно для бортового применения. В данной статье рассмотрены два характерных способа формирования траектории основанные на задании ее в параметризованном виде. В первом способе согласование граничных условий осуществляется за счет соответствующего выбора коэффициентов [ 3 4 5] а во втором способе - за счет специального выбора

3 базисных функций . Свободные коэффициенты параметризованных зависимостей во втором способе определяются исходя из условия оптимальности заданного критерия качества и ограничений на управления что делает этот способ существенно более гибким. Однако расчет траектории требует довольно большего объема вычислений. На конкретных примерах в статье показывается что первый способ несмотря на его привлекательную простоту навряд ли может быть использован для автономного генерирования траектории самолета.. Уравнения движения и обратная задача Движения центра масс самолета в пространстве описывается следующей системой уравнений : V g na sn gn a cos γ cos Ψ gn a sn γ/ V cos V cos cos V sn V cos sn /V () n a cosα X mg a n a snα Y mg a () Здесь координаты центра масс самолёта в нормальной земной системе координат V скорость полёта угол наклона траектории угол курса угол атаки угол крена тяга двигателя X a аэродинамическое сопротивление Y a аэродинамическая подъемная сила m масса самолета g ускорение свободного падения na - продольная перегрузка na - поперечная 3

4 перегрузка. Аэродинамические силы X a и Y a зависят от скорости V и от плотности атмосферы на высоте полета X a c V Y c V a где c c () и c c () - аэродинамические коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы величины которых зависят от угла атаки (угол между продольной осью самолета и вектором скорости полета). Для траекторного движения описываемого моделью () управляющими переменными являются тяга двигателя () угол атаки () и угол крена (). Однако в задачах формирования траектории вместо и в качестве переменных можно рассматривать перегрузки n a и n a. Привлекательность такого подхода обусловлена тем что величины n a n a и напрямую определяются зависимостями () () и () без каких либо дополнительных параметров и переменных. Для применения методологии обратной задачи требуется чтобы управляющие силы могли быть однозначно определены по заданной траекторий. Система () это допускает в чем нетрудно убедиться. Пусть зависимости координат самолета от времени () () и () заданы. Непосредственно из () следует: sn V cos sn cos (3) V. V С помощью дифференцирования данных соотношений находим V V cos Ψ Ψ V. (4) V V cos 4

5 Непосредственно из () нетрудно также получить выражения для определения перегрузок и угла крена cos g g cos/ V n a V sn g n a V g cos g cos. (5) С другой стороны дифференцируя три последних уравнения системы () получаем с учетом первых трех уравнений этой системы следующие соотношения: n a g n n g cos cos n a a g sn n a a g cos sn n g cos sn cos n g cos cos a g cos sn sn n a a g sn sn g sn cos () Этот результат позволяет записать: n n a a g sn cos sn g cos cos sn arcg g g cos sn cos cos sn g cos cos sn. sn (7) Формулы (7) вместе с формулами (3) определят переменные управления na na и γ в виде функций координат () () () и их первых и вторых производных по времени. Тягу двигателя и угол атаки можно определить по соотношениям (). Таким образом система () может быть использована для решения обратных задач динамики. Необходимо отметить что к настоящему времени уже существует ряд методов формирования траектории на основе привлечения концепции обратной задачи динамики. В данной статье рассмотрены два наиболее характерных подхода простое планирование траектории и формирование траектории на принципе оптимальности. 5

6 . Простое планирование траектории Предполагается что заданное начальное состояние = T и конечное состояние = T самолёта а также начальное и конечное время маневра. Еще могут быть заданны начальный и конечный векторы управления u= T u = T. Требуется построить траекторию полёта и управление удовлетворяющие всем этим краевым условиям. При рассмотрении траектории () () () физическое время заменим на относительное время τ в соответствии с формулой преобразования. (8) Здесь Δ = - так что τ = при = и τ = при =. В результате должны получиться зависимости ((τ)) = (τ) ((τ)) = (τ) ((τ)) = (τ). Процедура планирования траектории предполагает задание функций (τ) (τ) (τ) в виде параметризованных зависимостей с использованием базисных функций. Например в качестве (τ) (τ) (τ) могут быть взяты многочлены вида h w (9) где h w постоянные коэффициенты а... базисные функции обладающие свойством линейной независимости. Для упрощения вычислений структура базисных функций принимается достаточно

7 7 простой требуется лишь чтобы функции (τ) (τ) (τ) были непрерывными и как минимум дважды дифференцируемы. В частности удобны для использования степенные зависимости вида Могут применяться варианты с тригонометрическими функциями а также же комбинации степенных и гармонических функций как например. cos sn Дифференцируя зависимости (9) по τ получим производные w h. w h Многочлены (τ) (τ) (τ) и их производные должны удовлетворять заданным граничным условиям: На основании этих соотношений составим три системы уравнений:

8 8 w w w w w w h h h h h h () В () величины Δ na na γ na na γ s s s s s s s= =.. известны. Значения величин определяются по уравнениям () а значения по соотношениям (). Система () представляет собой 3=8 уравнений относительно 3=8 неизвестных коэффициентов (...) (h h...h) и (w w...w). Задача вычисления коэффициентов из системы () облегчается тем что эта система разделена на 3 независимые подсистемы. Получить решение несложно. Например для первой подсистемы с использованием векторно-матричных обозначений T T B

9 A можно записать A = B и таким образом искомая формула вычисления коэффициентов примет вид =A - B. Т.к. используемые базисные функции обладают свойством линейной независимости то матрица A не вырождена следовательно обратная матрица A - существует и решение для единственно. Аналогичным образом определяются решения системы () для остальных коэффициентов (h h...h) и (w w...w). 3. Планирование траектории прямым вариационным методом. В формулах (9) предыдущего раздела выполнение краевых условий обеспечивалось специальным выбором коэффициентов при заданных произвольно базисных функциях. Однако краевая задача может быть решена и другим способом путем специального выбора базисных функций при заданных произвольно коэффициентах. В этом случае наличие свободы в выборе коэффициентов позволяет совместить процедуру планирования траектории с оптимизацией какого либо критерия качества а также учесть ограничения на фазовые и управляющие переменные. По-видимому такой подход для задач динамики полета впервые был предложен Тараненко в контексте оптимизации управления прямым 9

10 вариационным методом. Метод Тараненко предполагает замену аргумента физического времени на некоторый обобщенный аргумент τ в соответствии с уравнением где λ неизвестная функция. Траектория задается соотношениями d d (τ) = (τ) (τ) = (τ) (τ) = 3(τ) V(τ) = 4(τ). Здесь функции (τ) = 4 должны быть непрерывными однозначными и дифференцируемыми на всем интервале значений аргумента τ. Функции (τ) ищутся в виде комбинации известных априорно заданных базисных функций: где j j j = 4 j = n базисные функции j неизвестные n j коэффициенты. Функции и j выбираются так чтобы удовлетворять неоднородным и однородным краевым условиям соответственно: Например по рекомендациям j. j

11 j j sn j или j j. Нетрудно видеть что этот выбор базисных функций гарантирует для (τ) удовлетворение краевых условий при любых значениях параметров j. С другой стороны функции (τ) зависят от коэффициентов j а следовательно выбором этих коэффициентов можно влиять на траекторию обеспечивая оптимизацию заданного критерия качества и выполнение ограничений на управления не заботясь о краевых условиях. Преобразуем систему () к новому аргументу τ: V g na sn / g a Ψ gna snγ/ V cos V coscos / V sn/ V cossn / / n cosγ cos/ V () Действуя так же как описано в разделе из уравнений () нетрудно получить следующие кинематические соотношения: V sn V g V cos V 3/ 3/ cos. Для управляющих переменных получаются формулы:

12 cos arcg g cos/ V n a V sn g n a V g cos. g cos Приведенные формулы показывают что все переменные управления и состояния выражаются через (τ) (τ) (τ) V(τ) и их производные но в отличие от формул раздела здесь дополнительно присутствует масштабирующая функция. Выбор свободных коэффициентов j подчиним оптимизации функционала J p который зависит от цели задачи (здесь p - вектор коэффициентов j). Таким образом формирование оптимальной траектории которая удовлетворяет заданным граничным условиям сводится к задаче нелинейного программирования: mn J (p) или pc ma J (p) () pc где С область допустимых значений параметров p обеспечивающая выполнение требуемых ограничений на управления и переменные состояния. Рекомендации относительно способов решения этой задачи приводятся в . 4. Примеры расчетов Рассмотренные выше варианты планирования траектории были проверены численными расчетами для ряда типичных маневров. Результаты вычислений для двух примеров представлены графиками на рисунках 4. Графики простого планирования траектории (вариант) отображены штриховыми линиями а графики планирования траектории прямым вариационным методом (вариант) с оптимизацией по критерию быстродействия отображены сплошными линиями. В обоих случаях краевые условия одинаковые.

13 Пример (разворот на 8 с набором высоты) Граничные условия: - начало маневра = V = 35 м/с Θ = рад Ψ = рад = м = 5 м = м na = na = γ = рад. - окончание маневра = 4.5 с V = 35 м/с Θ = рад Ψ = π рад = м = 8 м = -7 м na = na = γ = рад. В расчётах варианта учитываются ограничения на управления и переменные состояния: 35 м/с V 8 м/с Θ -9 Ψ 7 -. nа. -. nа γ. 3

14 Рис.. Траектории движения самолёта (Пример). 4

15 Рис.. Поведение переменных управления и состояния (Пример). В этом примере разворот происходит с достаточно большим радиусом. Кривизна траектории невелика поэтому изменения переменных управления и состояния медленны и плавны. Графики показывают что результаты двух вариантов имеют отличия но они не слишком большие. Можно сделать вывод что оба варианта дают приемлемые для практики решения. Пример (разворот на 8 с возвратом на исходную высоту) Граничные условия: - начало маневра = 5

16 V = 35 м/с Θ = рад Ψ = рад = м = 5 м = м na = na = γ = рад. - окончание маневра =.5 с V = 35 м/с Θ = рад Ψ = π рад = м = 5 м = -8 м na = na = γ = рад. В расчётах варианта учитываются ограничения на переменные управления и состояния: 35 м/с V 8 м/с Θ -9 Ψ 7 -. nа. -. nа γ. Рис. 3. Траектории движения самолёта (Пример).

17 Рис. 4. Поведение переменных управления и состояния (Пример). В этом примере вариант дает траекторию разворота с очень малым радиусом. Кривизна траектории велика поэтому изменения переменных управления и состояния происходили быстрее и резче чем в первом примере. Результаты вариантов и отличаются очень сильно. Анализ поведения зависимостей V() и nа() для варианта (рис.4) показывает что перегрузка nа сохраняется на уровне ~ в условиях очень малых скоростей V что для обычного самолета совершенно нереально. Минимум скорости достигает величины ~7 м/с (на -ой секунде) что существенно меньше скорости сваливания и недопустимо по условиям безопасности полета. В окрестности этой точки график зависимости Ψ() (рис.4) 7

18 демонстрирует резкое увеличение угла разворота. Но это вполне естественно т.к. в соответствии с кинематикой движения (см. 3-е уравнение ()) ситуация V в условиях n приводит к получению. a Таким образом в данном примере вариант дал неприемлемую для использования траекторию. Результат вполне прогнозируемый т.к. этот вариант не учитывает ограничения важные для практической реализации генерируемой траектории. В тоже время формальная проверка полученного решения варианта на согласованность между переменными управления и переменными состояния никакой информации о неприемлемости решения не дает. На рис. (5) показаны графики поведения переменных состояния для аппроксимирующего решения (9) и для результатов численного интегрирования исходной системы уравнений движения () (метод Рунге-Кутта 4-го порядка) с использованием вычисленных по формулам (7) управлений для сгенерированной траектории. Графики обоих типов совпадают что указывает на согласованность аппроксимирующего решения с динамикой рассматриваемой системы. Уже этот один пример демонстрирует недостаточность простого планирования траектории полета самолета без учета ограничений связанных с реализацией этой траектории. Рассмотренный метод планирования траектории с оптимизацией (вариант) в данном примере сгенерировал вполне реализуемую траекторию поскольку этот метод учитывает необходимые ограничения. Однако объемы вычислений этим методом оказываются очень большими т.к. получение 8

19 решения требует использования итерационных процедур нелинейного программирования. Рис. 5. Проверка на согласованность (маркеры o решение задачи планирования траектории сплошные линии результат интегрирования). Заключение В статье рассмотрены и на численных примерах проанализированы два метода планирования траектории пространственного маневра самолета основанные на параметризации траектории и использовании концепции обратной задачи динамики. Из приведенных расчетных примеров следует что самый простой метод 9

20 планирования который не учитывает ограничения на фазовые переменные и на управления может приводить к получению нереальных результатов. И несмотря на привлекательность из-за своей простоты этот метод навряд ли приемлем для бортового применения (речь идет о летательных аппаратах обычной самолетной схемы). Для более надежного решения задачи генерирования траектории маневра можно использовать более сложные методы позволяющие учесть хотя бы основные наиболее важные ограничения. Рассмотренный в статье метод прямого решения вариационной задачи предложенный Тараненко в принципе позволяет учесть такие ограничения и заодно выполнить оптимизацию маневра по какому либо заданному критерию. Основным недостатком этого метода является большой объем вычислений что вызвано необходимостью выполнения нелинейной условной оптимизации с привлечением итерационных процедур. Следует отметить что даже очень сложный метод генерирования траектории не застрахован от получения нереализуемых решений поэтому получаемые результаты должны быть проанализированы и проверены. Для условий бортового применения это представляет собой непростую задачу. Библиографический список. Тараненко В.Т. Момджи В.Г. Прямой вариационный метод в краевых задачах динамики полета. - М.: Машиностроение с.. Нелинейная динамика и управление: Сборник статей / Под ред. С.В. Емельянова С.К. Коровина. - М.: ФИЗМАТЛИТ. - 4 с.

21 3. Велищанский М.А. Синтез квазиоптимальной траектории движения беспилотного летательного аппарата // Электронный журнал «Наука и образование» 3: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/447.hml (дата публикации.3). 4. Канатников А.Н. Построение траекторий летательных аппаратов с немонотонным изменением энергии // Электронный журнал «Наука и образование» 3 4: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/554.hml (дата публикации 4.3). 5. Канатников А.Н. Крищенко А.П. Ткачев С.Б. Допустимые пространственные траектории беспилотного летательного аппарата в вертикальной плоскости // Электронный журнал «Наука и образование» 3: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/3774.hml (дата публикации 3.).

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 46 www.mi.ru/science/rud/ УДК 69.7.87 Решение задачи оптимизации управления пространственным движением легкого самолета на основе принципа минимума Понтрягина В.Н.Баранов,

Управление высотой полета вертолета Рассмотрим задачу синтеза системы управления движением центра масс вертолета по высоте. Вертолет как объект автоматического управления представляет собой систему с несколькими

УДК 69.78 УПРАВЛЕНИЕ ВОЗВРАЩАЕМЫМ КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ С РЕГУЛИРУЕМЫМ ЦЕНТРОМ МАСС В.А. Афанасьев, В.И. Киселёв Решается задача управления продольным угловым движением возвращаемых космических аппаратов

Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Тема 4. Уравнения движения самолета 1 Основные положения. Системы координат 1.1 Положение самолета Под положением самолета понимается положение его центра масс О. Положение центра масс самолета принято

Введение При проектировании систем стабилизации и управления летательных аппаратов важным этапом является выявление динамических свойств летательного аппарата ЛА как объекта управления Имеется обширная

МИНИМИЗАЦИЯ КОНВЕКТИВНОГО И РАДИАЦИОННОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ПРИ ВХОДЕ АППАРАТА В АТМОСФЕРУ В.В. Дикусар, Н.Н. Оленёв Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Москва Принцип максимума в задаче оптимального

337 УДК 697:004:330 ОБОСНОВАНИЕ ПОДХОДОВ К РАЗДЕЛЬНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЭФФЕКТИВНОЙ ТЯГИ ДВИГАТЕЛЕЙ И СИЛЫ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПО ДАННЫМ ЛЕТНЫХ ИСПЫТАНИЙ ОН Корсун Государственный научно-исследовательский

Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

Лекция 4. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. Если система имеет большую размерность (6 уравнений) или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Лекция продолжение лекции МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ А ТОЧЕЧНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Пусть на множестве точкой ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ задана сетка а на сетке задана сеточная

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,

ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

УДК 629.78 БЫСТРЫЙ МЕТОД РАСЧЁТА ОПОРНОЙ ТРАЕКТОРИИ СПУСКАЕМОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В.И. Киселёв Предложен новый метод расчёта опорной траектории спускаемого с орбиты искусственного спутника Земли летательного

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать

Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A() квадратная матрица

Модификация метода Годунова решения краевых задач теории оболочек 77-48/597785 # 7, июль Беляев А. В., Виноградов Ю. И. УДК 59.7 Введение Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected] [email protected]

Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

УДК 62.5 - общий 1 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ СОСТАВНЫХ ОБЪЕКТОВ Масляев С. И. ГОУВПО «Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева», г. Саранск Аннотация. Исследуется задача

336 УДК 6978:3518143 СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЙ ПОЛЕТОМ В АТМОСФЕРЕ ВОЗВРАЩАЕМОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВА Афанасьев Казанский национальный исследовательский технический университет им АНТуполева КАИ Россия 456318

Лекция 9. Метод параллельной стрельбы решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Некоторые сведения из вычислительной математики Анализ прикладного программного обеспечения

Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

УДК 6- АДАПТИВНАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАДАЧА ПРЕСЛЕДОВАНИЯ АЮ Золодуев Санкт-Петербургский государственный университет Россия 98 Санкт-Петербург Ст Петергоф Ботаническая ул 8 E-il: sshzluev@ilru БМ Соколов Санкт-Петербургский

УДК 531.132.1 Разработка математической модели движения средств воздушного нападения, принципов построения модели и ее программной реализации А.Д. Парфёнов 1, П.А. Бабичев 1, Ю.В. Фадеев 1 1 Московский

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им.р.е.алексеева КАФЕДРА АРТИЛЛЕРИЙСКОЕ ВООРУЖЕНИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по дисциплине

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 75 www.mai.ru/science/trudy/ УДК 629.78 Метод расчета приближенно-оптимальных траекторий движения космического аппарата на активных участках выведения на спутниковые

Оптимизация динамики летательного аппарата по различным критериям 1 УДК 517.977.5 А. А. АЛЕКСАНДРОВ ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИКИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ПО РАЗЛИЧНЫМ КРИТЕРИЯМ Рассматривается решение задачи оптимального

ВВЕДЕНИЕ На сегодняшний день конечно-элементные (КЭ) методы являются неотъемлемой частью инженерного анализа и разработок. КЭ пакеты используются практически во всех сферах науки, касающихся анализа строительных

Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Основные понятия Пусть M - некоторое множество функций Функционалом J = J (y называется переменная величина зависящая от функции y (если каждой функции y(M по некоторому

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:

Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F(()) - обыкновенное (зависимость только от) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

8. Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений движения Постановка задачи Решение уравнений движения является классической задачей механики. В общем случае это система дифференциальных уравнений

5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32 УДК 629.78, 62-50 c 2002. М.А. Велищанский, А.П. Крищенко, С.Б. Ткачев КВАЗИОПТИМАЛЬНАЯ ПЕРЕОРИЕНТАЦИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА Для задачи пространственной

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра теоретической механики КУРСОВАЯ РАБОТА ПО РАЗДЕЛУ "ДИНАМИКА" «ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ

Лабораторная работа Кодирование речевых сигналов на основе линейного предсказания Основной принцип метода линейного предсказания состоит в том, что текущий отсчет речевого сигнала можно аппроксимировать

Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Функции Дифференцирование функций 1 Правила дифференцирования Так как производная функции определяется, как и в действительной области, т.е. в виде предела, то, используя это определение и свойства пределов,

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

1377 УДК 51797756 НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ БЛИЗОСТИ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ К ОПТИМАЛЬНОМУ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ АА Коробов Институт математики им С Л Соболева СО РАН Россия,

УДК 68.5 ПОСТРОЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ РЕЛЕЙНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Е.А. БАЙЗДРЕНКО Е.А. ШУШЛЯПИН Работа посвящена задаче определения моментов переключения ограниченных релейных управлений для

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Лабораторная работа 6. Аппроксимация функций Аппроксимацией (приближением) функции f (x) называется нахождение такой функции g (x) (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии

Управление пространственным движением схвата роботаманипулятора # 07, июль 015 Белов И. Р. 1, Ткачев С. Б. 1,* УДК: 519.71 1 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана Введение Методы решения задачи управления движением

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 4 ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ И СИЛЫ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ВИРТУАЛЬНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ Лектор: Батяев Евгений Александрович

УДК 629.76 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ СПУСКА МНОГОРАЗОВОЙ ОДНОСТУПЕНЧАТОЙ РАКЕТЫ В.И. Киселёв Предложен один из возможных способов решения задачи построения одноступенчатой ракеты, алгоритм

Занятие 3.1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ И МОМЕНТЫ В данной главе рассмотрено результирующее силовое воздействие атмосферной среды на движущийся в ней летательный аппарат. Введены понятия аэродинамической силы,

Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции (x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции (x в произвольной точке x Для

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Статистическая радиофизика и теория информации Лекция 8 12. Линейные системы. Спектральный и временной подходы. Линейными называются системы или устройства, процессы в которых можно описать при помощи

Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Митюков В.В. Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации институт, программист ОВТИ, [email protected] Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями КЛЮЧЕВЫЕ

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y (F y y y y (F y y y y (Частным случаем

В случае анализа динамики самолета, совершающего полет со скоростью, значительно меньшей орбитальной, уравнения движения по сравнению с общшм случаем полета летательного аппарата могут быть упрощены, в частности, можно пре­небречь вращением и сферичностью Земли. Кроме этого сделаем еще ряд упрощающих допущений.

только квазистатически, для текущего значения скоростного напора.

При анализе устойчивости и управляемости самолета будем использовать следующие прямоугольные правые системы осей координат.

Нормальная земная система координат OXgYgZg. Эта система осей координат имеет неизменную ориентацию относительно Земли. Начало координат совпадает с центром масс (ЦМ) самолета. Оси 0Xg и 0Zg лежат в горизонтальной плоскости. Их ориентация может быть принята произвольно, в зависимости от целей реша­емой задачи. При решении навигационных задач ось 0Xg часто направляют к Северу параллельно касательной к меридиану, а ось 0Zg направляют на Восток. Для анализа устойчивости и управляемости самолета удобно принять направление ориента­ции оси 0Xg совпадающим по направлению с проекцией вектора скорости на горизонтальную плоскость в начальный момент вре­мени исследования движения. Во всех случаях ось 0Yg направлена вверх по местной вертикали, а ось 0Zg лежит в горизонтальной плоскости и образует вместе с осями OXg и 0Yg правую систему осей координат (рис. 1.1). Плоскость XgOYg называют местной вертикальной плоскостью.

Связанная система координат OXYZ. Начало координат рас­положено в центре масс самолета. Ось ОХ лежит в плоскости симметрии и направлена вдоль линии хорд крыла (либо парал­лельно какому-либо другому, фиксированному относительно само­лета направлению) к носовой части самолета. Ось 0Y лежит в плоскости симметрии самолета и направлена вверх (при гори­зонтальном полете), ось 0Z дополняет систему до правой.

Углом атаки а называется угол между продольной осью самолета и проекцией воздушной скорости на плоскость OXY. Угол положителен, если проекция воздушной скорости самолета на ось 0Y отрицательна.

Углом скольжения р называется угол между воздушной ско­ростью самолета и плоскостью OXY связанной системы коорди­нат. Угол положителен, если проекция воздушной скорости на поперечную ось положительна.

Положение связанной системы осей координат OXYZ относи­тельно нормальной земной системы координат OXeYgZg может быть полностью определено тремя углами: ф, #, у, называемыми углами. Эйлера. Последовательно поворачивая связанную систему

координат на каждый из углов Эйлера, можно прийти к любому угловому положению связанной системы относительно осей нор­мальной системы координат.

При исследовании динамики самолетов используются следу­ющие понятия углов Эйлера.

Угол рыскания г]) - угол между некоторым исходным напра­влением (например, осью 0Xg нормальной системы координат) и проекцией связанной оси самолета на горизонтальную пло­скость. Угол положителен, если ось ОХ совмещается с проекцией продольной оси на горизонтальную плоскость поворотом вокруг оси OYg по часовой стрелке.

Угол тангажа # - угол между продольно# осью самолета ОХ и местной горизонтальной плоскостью OXgZg, Угол положителен, если продольная ось находится выше горизонта.

Угол крена у - угол между местной вертикальной плоскостью, проходящей через ось ОХ у и связанной осью 0Y самолета. Угол положителен, если ось О К самолета совмещается с местной вер­тикальной плоскостью поворотом вокруг оси ОХ по часовой стрелке. Углы Эйлера могут быть получены последовательными поворотами связанных осей относительно нормальных осей. Бу­дем считать, что нормальная и связанная системы координат в начале совмещены. Первый поворот системы связанных осей произведем относительно оси О на угол рыскания г]; (ф совпадает с осью OYgXрис. 1.2)); второй поворот -относительно оси 0ZX на угол Ф (‘& совпадает с осью OZJ и, наконец, третий поворот произведем относительно оси ОХ на угол у (у совпадает с осью ОХ). Проектируя векторы ф, Ф, у, являющиеся составляющими

вектора угловой скорости движения самолета относительно нор­мальной системы координат, на связанные оси, получим уравне­ния связи между углами Эйлера и угловыми скоростями вращения связанных осей:

со* = Y + sin *&;

o)^ = i)COS’&cosY+ ftsiny; (1.1)

со2 = ф cos у - ф cos Ф sin у.

При выводе уравнений движения центра масс самолета необ­ходимо рассматривать векторное уравнение изменения количества движения

-^- + о>xV)=# + G, (1.2)

где ю - вектор скорости вращения связанных с самолетом осей;

R - главный вектор внешних сил, в общем случае аэродинами-

ческих сил и тяги; G - вектор гравитационных сил.

Из уравнения (1.2) получим систему уравнений движения ЦМ самолета в проекциях на связанные оси:

т (гЗ?~ + °hVx ~ °ixVz) = Ry + G!!’ (1 -3)

т iy’dt “Ь У - = Rz + Gz>

где Vx, Vy, Vz - проекции скорости V; Rx, Rz - проекции

результирующих сил (аэродинамических сил и тяги); Gxi Gyy Gz - проекции силы тяжести на связанные оси.

Проекции силы тяжести на связанные оси определяются с ис­пользованием направляющих косинусов (табл. 1.1) и имеют вид:

Gy = - G cos ft cos у; (1.4)

GZ = G cos d sin y.

При полете в атмосфере, неподвижной относительно Земли, проекции скорости полета связаны с углами атаки и скольжения и величиной скорости (V) соотношениями

Vх = V cos a cos р;

Vу = - V sin a cos р;

Связанная

Выражения для проекций результирующих сил Rx, Rin Rz имеют следующий вид:

Rx = - cxqS — f Р cos ([>;

Rty = cyqS p sin (1.6)

где cx, cy, сг - коэффициенты проекций аэродинамических сил на оси связанной системы координат; Р - гяга двигателей (обычно Р = / (У, #)); Фн - угол заклинення двигателя (фя > 0, когда проекция вектора тяги на ось 0Y самолета-положительна). Далее везде будем принимать = 0. Для определения входящей в выражение для скоростного напора q величины плотности р (Н) необходимо интегрировать уравнение для высоты

Vx sin ft+ Vy cos ft cos у - Vz cos ft sin у. (1.7)

Зависимость p (H) может находиться по таблицам стандартной атмосферы либо по приближенной формуле

где для высот полета И с 10 000 м К ж 10~4 . Для получения замкнутой системы уравнений движения самолета в связанных осях уравнения (13) необходимо дополнить кинематическими

соотношениями, которые позволяют определять углы ориентации самолета у, ft, г]1 и могут быть получены из уравнений (1.1):

■ф = Кcos У — sin V):

■fr = «у sin у + cos Vi (1-8)

Y = со* - tg ft (©у cos y - sinY),

а угловые скорости cov, со, coz определяются из уравнений движе­ния самолета относительно ЦМ. Уравнения движения самолета относительно центра масс могут быть получены из закона измене­ния момента количества движения

-^-=MR-ZxK.(1.9)

В этом векторном уравнении приняты следующие обозначения: ->■ ->

К - момент количества движения самолета; MR - главный мо­мент внешних сил, действующих на самолет.

Проекции вектора момента количества движения К на подвиж­ные оси в общем случае записываются в следующем виде:

К t = I х^Х? ху®у I XZ^ZI

К, Iху^х Н[ IУ^У Iyz^zi (1.10)

К7. - IXZ^X Iyz^y Iz®Z*

Уравнения (1.10) могут быть упрощены для наиболее распростра­ненного случая анализа динамики самолета, имеющего плоскость симметрии. В этом случае 1хг = Iyz - 0. Из уравнения (1.9), используя соотношения (1.10), получим систему уравнений дви­жения самолета относительно ЦМ:

h -jf — — hy («4 — ©Ї) + Uy — !*) = MRZ-

Если за сси OXYZ принять главные оси инерции, то 1ху = 0. В связи с этим дальнейший анализ динамики самолета будем производить, используя в качестве осей OXYZ главные оси инер­ции самолета.

Входящие в правые части уравнений (1.11) моменты являются суммой аэродинамических моментов и моментов от тяги двигателя. Аэродинамические моменты записываются в виде

где тХ1 ту, mz - безразмерные коэффициенты аэродинамических моментов.

Коэффициенты аэродинамических сил и моментов в общем случае выражаются в виде функциональных зависимостей от ки­нематических параметров движения и параметров подобия, за­висящих от режима полета:

у, г mXt = F(а, р, а, Р, coXJ coyj со2, бэ, ф, бн, М, Re). (1.12)

Числа М и Re характеризуют исходный режим полета, поэтому при анализе устойчивости или управляемых движений эти парамет­ры могут быть приняты постоянными величинами. В общем случае движения в правой части каждого из уравнений сил и моментов будет содержаться достаточно сложная функция, определяемая, как правило, на основе аппроксимации экспериментальных данных.

Нарис. 1.3 приведены правила знаков для основных пара­метров движения самолета, а также для величин отклонений органов и рычагов управления.

Для малых углов атаки и скольжения обычно используется представление аэродинамических коэффициентов в виде разложе­ний в ряд Тейлора по параметрам движения с сохранением только первых членов этого разложения. Такая математическая модель аэродинамических сил и моментов для малых углов атаки доста­точно хорошо согласуется с летной практикой и экспериментами в аэродинамических трубах. На основании материалов работ по аэродинамике самолетов различного назначения примем следу­ющую форму представления коэффициентов аэродинамических сил и моментов в функции параметров движения и углов отклонения органов управления:

сх ^ схо 4~ сх (°0»

У ^ СУ0 4" с^уа 4" С!/Ф;

сг = cfp + СгН6„;

тх - itixi|5 — f — ■Ь тхха>х-(- тх -f — /л* (І -|- — J — Л2ЛП6,!

о (0.- (0^- р б б„

ту = myfi + ту хо)х + ту Уыу + р + га/бэ + ту бн;

тг = тг (а) + тг zwz /я? ф.

При решении конкретных задач динамики полета общая форма представления аэродинамических сил и моментов может быть упрощена. Для малых углов атаки многие аэродинамические коэффициенты бокового движения являются константами, а про­дольный момент может быть представлен в виде

mz (а) = mzo + т£а,

где mz0 - коэффициент продольного момента при а = 0.

Входящие в выражение (1.13) составляющие, пропорциональ­ные углам аир, обычно находятся из статических испытаний моделей в аэродинамических трубах или расчетом. Для нахожде-

НИЯ производных, twx (у) необходимо проведение

динамических испытаний моделей. Однако в таких испытаниях обычно происходит одновременное изменение угловых скоростей и углов атаки и скольжения, в связи с чем при измерениях и обра­ботке одновременно определяются величины:

СО — СО- ,

тг* = т2г —mz;

0) , R. Юу I в.

mx* = тх + тх sin а; ту* = Шух ту sin а.

СО.. (О.. ft СО-. СО.. ft

ту% = т,/ -|- tiiy cos а; тх% = тху + тх cos а.

В работе показано, что для анализа динамики самолета,

особенно на малых углах атаки, допустимо представление момен-

тов в виде соотношений (1.13), в которых производные mS и т$

приняты равными нулю, а под выражениями т®х, и т. д.

понимаются величины m“j, т™у [см. (1.14)], определяемые в экс­перименте. Покажем, что это допустимо, ограничив рассмотрение задачами анализа полета с малыми углами атаки и скольжения при постоянной скорости полета. Подставив в уравнения (1.3) выра­жения для скоростей Vх, Vy, Vz (1.5) и производя необходимые преобразования, получим

= % COS а + coA. sina — f -^r }

Катастрофы